1. DISTRIBUCIÓN UNIFORME (DE V.CONTINUA)
f(x)= 1/(b-a) para x Î [a,b].
0 para x < a
1 para x ³ b
2.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Dada una variable aleatoria continua, X , definida para valores
reales positivos.
diremos que X tiene una distribución exponencial de parámetro a cuando su función de densidad sea: f(x) = a e-a x para x ³ 0 ( siendo el parámetro a positivo)
La función de distribución será
| F(x) = { | =0 para x < 0 |
 |
Si derivamos la F.G.M. en el punto t=0 obtendremos que m = 1/a
Y derivando por segunda vez en t= 0 obtendremos el momento ordinario de segundo orden, y a partir de él la varianza: s 2= 1 /a2 la moda es 0 y la mediana ln2/a
3.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal
es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Es una
distribución de variable continua con campo de variación [-¥ ,¥ ], que queda especificada a través de dos parámetros
( que
acaban siendo la media y la desviación típica de la distribución).
Una
variable aleatoria continua, X, definida en [-¥ ,¥ ] seguirá una distribución normal de parámetros m y s , ( X ~ N(m ; s ) ) , si su función de densidad es :
para x Î [-¥ ,¥ ]
a) Enorme número de fenómenos que puede modelizar: Casi todas las características cuantitativas de las poblaciones muy grades tienden a aproximar su distribución a una distribución normal.
b) Muchas de las demás distribuciones de uso frecuente, tienden a distribuirse según una Normal, bajo ciertas condiciones.
c) (En virtud del teorema central del límite).Todas aquellas variables que pueden considerarse causadas por un gran número de pequeños efectos (como pueden ser los errores de medida) tienden a distribuirse según una distribución normal.
La probabilidad de cualquier intervalo se calcularía
integrando la función de densidad a lo largo de ese de intervalo, pero no es
necesario nunca resolver la integral pues existen tablas que nos evitan este
problema.
F.G.M.: puede probarse que la función generatriz de momentos de una distribución N(m ; s ) es:
f (t) = E (etx) = e(m t + ½ s2t2)
A partir de ella es fácil comprobar como efectivamente la media de la distribución es el parámetro m y, cómo su varianza es el parámetro s.
Igualmente puede comprobarse que la distribución es simétrica y que su curtósis es nula.
Propiedad importante: "CUALQUIER TRANSFORMACIÓN LINEAL DE UNA VARIABLE
ALEATORIA NORMAL TIENE TAMBIÉN UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL DONDE LA MEDIA DE LA
NUEVA VARIABLE ES LA MISMA TRANSFORMACIÓN LINEAL DE LA MEDIA DE LA ANTIGUA Y
DONDE LA DESVIACIÓN TÍPICA ES LA DESVIACIÓN TÍPICA ANTIGUA MULTIPLICADA POR EL
COEFICIENTE ANGULAR DE LA TRANSFORMACIÓN":
Dada una variable X ~ N (m ; s ) si la nueva variable Y es Y = a+bX
Y~ N(a+bm ; bs ) :
en efecto: la F.G.M de la distribución de X será:
E(etx) = e(m t + ½ s2t2)
y la F.G.M. de la distribución de Y será:
fy(t)= eat.fx(bt) = eat .e(m bt + ½ s2b2t2) = e((a+bm )t + (bs )2t2)
que es la F.G.M de una distribución N(a+bm ; bs ) //*q.e.d.*//
Consecuencia importante de esto es que si se tipifica una variable X / X ~ N(m ; s ) la nueva variable Z = tendrá una distribución N(0,1).
La
distribución N(0,1) se conoce con el nombre de Normal tipificada o reducida y
tiene una importancia teórica y práctica fundamental. Su Función de
distribución está tabulada y ello nos permite calcular directamente cualquier
probabilidad de cualquier intervalo de cualquier distribución normal ( X ~ N(m ; s )), sin necesidad de integrar.
En efecto: si X ~ N(m ; s ) y queremos calcular P(XÎ [a,b])==P(a£ X £ b) =
donde F es la F. de distribución de una Normal tipificada, que puede evaluarse a través de las tablas.
4. MODELO DE GAUSS
La campana de Gauss es un modelo de distribución de probabilidad descrito por el matemático y físico alemán Carl Friederich Gauss (1777-1855).
Esta curva, también conocida como distribución normal es una función de probabilidad continua y simétrica, cuyo máximo es la media y tiene dos puntos de inflexión situados en ambos lados.
Un punto de inflexión es el que separa la parte cóncava de la convexa de la campana.
Esta gráfica representa el comportamiento de los valores de una población o universo de eventos, cuyas variaciones sólo están influenciadas por fenómenos aleatorios.
Muestra es un valor representativo del conjunto total llamado universo o población.
Frecuencia es el número de veces que cada valor se repite.
Moda es el valor que más se repite.
Promedio o media (m) es el cociente de la suma de todos los valores entre la cantidad de valores.
Mediana es el valor que ocupa la posición central, cuando los valores se ordenan de mayor a menor.
Desviación estandár (s) es una medida de qué tanto se dispersan los valores, alejándose mucho o poco de la media.
Los parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son m y s, con los cuales sabemos dónde situar la campana de Gauss (punto correspondiente a m) y cuál es su ancho (determinado por s) .
En esta exhibición, se tienen 2,166 balines y 43 casillas. Cada balín que cae en alguna de las casillas, es un evento.
La moda es 21, porque corresponde al número de casilla que registra una mayor frecuencia; también es la mediana, pues es la que ocupa la posición central.
El promedio se obtiene de dividir la suma acumulada del producto del número de casilla por la cantidad de balines que contiene, entre el número total de eventos.
Área bajo la curva
| |
Desviación
 |
Fracción total de área incluída
|
0.675
|
50.00 %
|
1.0
|
68.28 %
|
2.0
|
95.46 %
|
3.0
|
99.72 %
|
4.0
|
99.99 %
|
 |
100 %
|
La variable de la cual se pretende estudiar su comportamiento, es el número de casilla (c).
NOTA: Los valores cambian cada vez que se realiza el experimento.
Los valores aquí mostrados corresponden a un ejemplo del experimento real.
NOTA: Los valores cambian cada vez que se realiza el experimento.
Los valores aquí mostrados corresponden a un ejemplo del experimento real.
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