Tablas de Frecuencia

Construcción de Tablas de Frecuencias      

Frecuencias relativas: La Frecuencia Relativa de una clase es su frecuencia dividida entre la frecuencia total de todas las clases y se expresa generalmente como un porcentaje. Por ejemplo, la frecuencia relativa de la clase 66-68 de la tabla de estaturas de estudiantes del tema anterior es 42/100 = 42%. Es claro que la suma de todas las frecuencias relativas de las clases es 1, o sea 100%.

Si se sustituyen las frecuencias de esa tabla por las correspondientes frecuencias relativas, a la tabla resultante se le llama Distribución de Frecuencias Relativas, Distribución de Porcentajes o Tabla de Frecuencias Relativas.

Frecuencias acumuladas: la frecuencia total de todos los valores menores que la frontera de clase superior de un intervalo de clase dado se conoce como Frecuencia acumulada hasta ese intervalo de clase. Por ejemplo, la frecuencia acumulada, incluyendo hasta el intervalo de clase 66 -68 de la tabla de estudiantes es 5+18+42=65, lo que significa que 65 estudiantes tienen estaturas por debajo de 69 plg. Una tabla que presenta tales frecuencias acumuladas se llama Distribución de Frecuencias Acumuladas, Tabla de Frecuencias Acumuladas o, brevemente, una Distribución Acumulada. En la siguiente tabla se muestra una tabla de distribuciones acumuladas para las estaturas de los estudiantes:

Estatura    Frecuencia   Frecuencia relativa    Número de            Frecuencia           (plg)            ( f )                     porcentual            estudiantes           acumulada

60-62             5                            5%                    Menor que 60                0

63-65            18                         18%                   Menor que 63                 5

66-68            42                         42%                   Menor que 66               23

69-71            27                         27%                   Menor que 69               65

72-74              8                            8%                  Menor que 72                92

Total           100                       100%                  Menor que 75              100

Tabla 2. Frecuencias Relativas Porcentuales y Acumuladas

Construcción De Tablas De Frecuencias.

Tablas de frecuencias en intervalos o en clases. Hasta este momento se han dado las partes básicas que forman una tabla de frecuencias acumuladas pero: ¿de que forma se construyen esas tablas? En esta parte se tocará este punto importante.

Como ya se ha expuesto al inicio de esta página, los datos sueltos o brutos  se deben organizar y representar en clases y frecuencias como en el ejemplo anterior mediante una tabla de frecuencias.

Criterios para la determinación del número de clases.

Es recomendable que no sean pocos los intervalos ó clases debido a que al condensar la pérdida de información sería importante con relación a los datos originales. Por otra parte, el númeron excesivo de clases, si bien produce poca pérdida de la información no simplifica el trabajo.

Un criterio para determinar el número de clases es el propuesto por Ryan en 1982 presentado en la siguiente tabla:

TABLA DE RYAN

No. de datos         No. de clases

8 a 16                           4           17 a 32                          5        33 a 64                          6       65 a 128                         7      129 a 256                        8      257 a 512                        9      513 a 1024                    10

Ejemplo 1: Bebés nacidos en un hospital

Se tiene un conjunto de 50 datos que representan el peso en kilogramos de los bebés nacidos en un hospital durante el mes de febrero y se desea representarlos mediante una tabla de frecuencias. Determinar el número de clases que se requieren para construir dicha tabla.

* Solución. No. de clases = 6, de acuerdo a la tabla de Ryan.

Ejemplo 2: Estudiantes de una universidad 

La siguiente tabla muestra el peso de 50 estudiantes entrevistados.

• a) Ordenar los datos de menor a mayor.
• b) Determinar el rango.
• c) Construir los intervalos de clase con su respectiva frecuencia.
• d) Determinar las frecuencias relativas.
• e) Determinar las frecuencias relativas porcentuales.
• f) Determinar las frecuencias acumuladas
• g) Determinar las frecuencias acumuladas relativas.
• h) Determinar las marcas de clase de cada intervalo.

Peso de los estudiantes en kilogramos

50    67    50    58    61   59   41    59    42    60  55    48    45    58    69   46   51    52    40    65  53    52    68    53    46   60   50    54    54    40  44    41    49    45    47   56   48    53    55    51 47    52    51    58    54   51   52    55    60    58

a. Ordenando de menor a mayor la tabla queda ordenada como se indica enseguida:

Peso de los estudiantes en kilogramos

40  44  47   50   51  52   54   56   59   65 40  45  47   50   51  53   54   58   59   66 41  45  48   50   52  53   55   58   60   67 41  46  48   51   52  53   55   58   60   68      42   46  49   51   52  54   55   58   61   69

b. Rango

Rango = Valor mayor - valor menor = (69 - 20)kg = 29 kg

c) Para construir los intervalos de clase con su respectivas frecuencias se procede a determinar primermanete el tamaño de las clases usando la siguiente fórmula:

Tamaño de clase = Rango/Número de clases = 29 kg / 6 kg = 4.83

  

Redondeando este valor se determina que el tamaño de las clases será igual a 5.  Para los 50 datos, utilizando la tabla de Ryan, se emplearán 6 clases

Tamaño de clase = 5

Teniendo estos valores se prociede a realizar la tabla de frecuencias. Se empezará con el valor menor que es 40 y se toman 5 valores en orden ascendente de acuerdo al tamaño de clase que obtuvimos anteriormente, esto es: 40, 41, 42, 43 y 44. Por lo que el primer intervalo quedará como: 40-44, el segundo sería 45, 46, 47, 48, 49 (45-49), el tercero 50-54 y así sucesivamente hasta completar la tabla que se muestra enseguida:

Clase    Frecuencia  40 - 44            6  45 - 49            9  50 - 54          17  55 - 59          10  60 - 64           3  65 - 69           5  Total            50

Clase          Frec.        Frec.       Frec. relat.     Frecuencia    Frec. acum.                                      relativa    porcentual      acumulada        relativa  40 - 44            6             0.12               12                    6                      12  45 - 49            9             0.18               18                  15                      30  50 - 54          17             0.34               34                  32                      64  55 - 59          10             0.20               20                  42                      84  60 - 64           3              0.60               60                  45                      90  65 - 69           5              0.10               10                  50                    100  Total             50             1.00              100%

De acuerdo a la tabla que se encuentra inmediatamente arriba de éstas líneas se obtiene lo siguiente:

d) Los valores de la frecuencia relativa se obtienen dividiendo cada frecuencia entre el total de datos. Por ejemplo: 6/50 = 0.12, 9/50 = 0.18, etc.

e) Los valores de la frecuencia relativa porcentual se obtienen multiplicando las frecuencias relativas por 100.

f) Los valores de las frecuencias acumuladas se obtienen sumando el valor anterior más el valor posterior. Por ejemplo, el valor de 15 se obtiene sumando 6(valor anterior) mas 9(valor posterior), el 32, sumando 15(valor anterior) mas 17 (valor posterior) y asi sucesivamente hasta completar el total de los 50 datos.

g) Las frecuencias acumuladas relativas se obtienen sumando las respectivas frecuencias porcentuales: valor anterior + valor posterior. El primer valor es el mismo del inicio de la frecuencia porcentual. El segundo valor (30), se obtiene sumando 12+18, el tercero 30+34=64 y así sucesivamente hasta completar el 100.

h) Las marcas de clase se obtienen por medio de la siguiente fórmula:

Marca de clase = (Límite inferior + Límite superior) / 2

Para la primera clase: (40+44) / 2 =  84 / 2 = 42;

Para la segunda clase: (45+49) / 2 = 94 / 2 = 47; etc.

Por lo que tabla completa quedará como se indica enseguida:

Clase     Marcas de   Frec.      Frec.       Frec. relat.     Frecuencia    Frec. acum.                     clase                        relativa    porcentual    acumulada        relativa  40 - 44        42                 6             0.12               12                    6                      12  45 - 49        47                 9             0.18               18                  15                      30  50 - 54        52               17             0.34               34                  32                      64  55 - 59        57               10             0.20               20                  42                      84  60 - 64        62                3              0.60               60                  45                      90  65 - 69        67                5              0.10               10                  50                    100  Total           50                                1.00             100%

 Las marcas de clase nos servirán para construir histogramas y polígonos de frecuencia que será un tema que se verá mas adelante. Lo importante por ahora es conocer claramente como se construye una tabla de frecuencias y las partes que se originan después de dicha construcción.

Ejemplo 3: Estudiantes viendo televisión

La siguiente distribución de frecuencias muestra el número de minutos semanales que pasan viendo televisión 400 estudiantes de secundaria.

Tiempo de ver TV      No. de      (en minutos)       estudiantes        300-399                      14        400-499                       46        500-599                       58        600-699                       76        700-799                       68        800-899                       62        900-999                       48    1000-1099                       22    1100-1199                        6          Total                        400

Con referencia a esta tabla, determinar:

a) El límite superior de la 5a. clase. Resp: 799.

b) El límite inferior de la 8a. clase. Resp: 1000.

c) La marca de clase de la 7a. clase. Resp. MC = (900+999) / 2 = 949.5

d) El tamaño de los intervalos de clase. Resp. Tomando como referencia cualquier intervalo, por ejemplo, 800-899. Hay que tener cuidado en esto, ya que se puede caer en la confusión de que el tamaño del intervalo es 99 pero no es así. Se empieza a contar desde el límite inferior que es 800 y a partir de ahí tomar loa demás valores; esto es: 800, 801, 802, 803, 804, 805,...,899 que serán 100 valores.

Por lo tanto el tamaño de los intervalos de clase será igual a 100.

e) La frecuencia de la 4a. clase. Resp: 76.

f) La frecuencia relativa de la 6a. clase. Resp: 62 / 400 = 0.155

g) El porcentaje de estudiantes cuyo tiempo de ver TV no excede de 900 minutos. Resp. Para ello se tomará hasta la 3a. clase (500-599) y se calcula el porcentaje de las frecuencias:

                    (14+46+58) / 400 = 0.295 x 100% = 29.5 %

h) El porcentaje de estudiantes  cuyo tiempo de ver TV es mayor o igual a 900 minutos.

Resp. Para esto se sumará a partir del intervalo 900-999 y se hace algo similar al inciso anterior:

                    (48+22+6)/ 400 = 0.19 x 100% = 19 %

i) Porcentaje de estudiantes cuyo tiempo de ver TV es mayor a 500 minutos pero menor a 1000 minutos.

Resp:          (58+76+68+62+48) / 400 = 0.78 x 100% = 78 %