"La Era de la Bioestadística" : Modelos de Probabilidad Discretos

1.- DISTRIBUCIÓN DICOTÓMICA (Bernoulli).

El campo de variación de la variable es: {0,1} y la función de cuantía es:

P(X=0) = q = 1-p

P(X=1)= p

Si una variable aleatoria X sigue o tiene una distribución dicotómica de parámetro p se expresa como X ~ D (p).

Modeliza situaciones en las que:

· Se realiza una prueba

· Que sólo puede dar dos resultados posibles: A y A

· La probabilidad del resultado A es P(A) = p y la del resultado A es P(A)= q=1-p.

· En estas circunstancias la variable aleatoria X significa "nº de resultados A que se obtienen.

La media de la distribución será: m = å x P(x) = 0.q + 1.p = p
La varianza de la distribución: s² = a₂- m²
con: a₂ = S x².P(x) = 0.q +1.p= p
s² = a₂- m²= p - p² = p (1-p) = p.q
Y la F.G.M.:
f (t) = E(e^tx) = S e^tx P(x) = e⁰ q + e^t p = (pe^t +q)
Es fácil comprobar que todos los momentos ordinarios de orden mayor o igual a 1 son iguales a p.

2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

El campo de variación de la variable es {0,1,2,3,..., n} y la función de cuantía es:

para valores de x= 0,1,2,...n siendo nÎ N , p Î [0,1] y q=1-p

Si una variable aleatoria, X, sigue una distribución binomial de parámetros n y p se expresa como: X ~ B(n,p).

Situaciones que modeliza:

· Se realiza un número n de pruebas (separadas o separables).

· Cada prueba puede dar dos únicos resultados A y Ã

· La probabilidad de obtener un resultado A es p y la de obtener un resultado Ã es q, con q= 1-p, en todas las pruebas. Esto implica que las pruebas se realizan exactamente en las mismas condiciones. Si se trata de extracciones, (muestreo), las extracciones deberán ser con devolución (reemplazamiento) (M.A.S).

· En estas circunstancias se aleatoriza de forma que variable aleatoria signifique:

X = nº de resultados A que se obtienen en las n pruebas

Es fácil comprobar que considerando estas condiciones la función de cuantía de la variable es precisamente la que se ha especificado arriba.
La función de distribución quedará como F(x) = S P(x), sin una expresión analítica concreta.
Los indicadores-momentos (media y varianza) pueden obtenerse a partir de la función de cuantía (operador esperanza) o a a partir de F.G.M.:

F.G.M.: f (t) = E(e^tx) = S e^tx P(x) =

(desarrollo del Binomio de Newton)

f (t) =(pe^t + q)ⁿ
A partir de aquí:
la media m = a₁= f '(t=0) :
f '(t)= n (pe^t + q)^n-1pe^t ¾ ¾ ® f '(t=0) = n(p+q)^n-1 p = n.1.p= np
la varianza s² = a₂- m² y a₂ =f ''(t=0)
f ''(t) = n.(n-1) (pe^t + q)^n-2pe^t pe^t+ n (pe^t + q)^n-1 p ¾ ¾ ®
¾ ¾ ® f ''(t=0) = n.(n-1) (p + q)^n-2p² +n (p+q)^n-1 p =
=n.(n-1)p² + np = n²p² -np² + np
a₂ =n²p² -np² + np
de donde : la varianza s² = a₂- m² =n²p² -np² + np -(np)² =-np² + np =
s² =np(1-p)= npq

Análogamente se pueden obtener los coeficientes de Asimetría y de Curtosis.
que acaban siendo:

Es interesante hacer ver que si p=q= 0.5 la distribución es SIMÉTRICA Y TIENE VARIANZA MÁXIMA
Puede determinarse la moda de una distribución binomial como el (los) valor(es) de la variable (número entero del 0 a n) que verifica:

pn - q £ Mo £ pn + p

Generalmente será un único valor ( la parte entera de la media), y podrán ser dos valores modales cuando pn +p ( ó pn-q) sea un número entero[p.ej. B(5,0.5)]

3. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Dada la siguiente situación:

Una población constituida por N individuos en total.
De los cuales Np individuos son del tipo A , y Nq individuos son del tipo Ã.

De forma que la proporción de individuos A que hay en la población es p, y la proporción de individuos de tipo Ã , es q (p+q=1).

Se realizan n (pruebas) extracciones sin reemplazamiento

De forma que la probabilidad de extraer un individuo A ( Ã) en una de las extracciones depende de los resultados de las pruebas anteriores.

Si consideramos la variable aleatoria X = nº de resultados A obtenidos en las n extracciones, X seguirá una distribución hipergeométrica. X~H(N,n,p)

Puede comprobarse que la función de cuantía es, entonces:

La distribución hipergeométrica es semejante a la binomial, excepto en el hecho de que las pruebas no mantienen constantes las probabilidades de A y Ã

· La media de la distribución hipergeométrica es m = np

· La varianza de la distribución es s2 = npq (N-1/(N-n))

al término (N-1/(N-n)) se le llama coeficiente de exhaustividad ,o también, factor corrector de poblaciones finitas :

Puede observarse que este factor es siempre inferior a 1 y que cuando la población es muy grande (N® ¥ ) tiende a 1(por tanto si la población es muy grande la media y la varianza coinciden con las de la D. Binomial).

De hecho, si la población es muy grande (resulta irrelevante la existencia o no de reposición) la función de cuantía de la Hipergeométrica tiende a la f. de cuantía de la distribución Binomial y se puede prescindir del hecho de que haya o no reemplazamiento.

4. DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Formalmente: dada una variable aleatoria X con campo de variacióng

X Î {0,1,2,..., ¥ }, es decir X Î N cuya función de cuantía sea:

siendo l un parámetro positivo

diremos que X sigue una distribución de Poisson de parámetro l , X ~ P(l ).

Situaciones que modeliza:

Se observa la ocurrencia de hechos de cierto tipo durante un período de tiempo o a lo largo de un espacio, considerados unitarios
El tiempo (o el espacio) pueden considerarse homogéneos, respecto al tipo de hechos estudiados, al menos durante el período experimental; es decir, que no hay razones para suponer que en ciertos momentos los hechos sean más probables que otros.
En un instante (infinitesimal) sólo puede producirse como mucho un hecho (se podrá producir o uno o ninguno).
La probabilidad de que se produzca un hecho en un intervalo infinitesimal es prácticamente proporcional a la amplitud del intervalo infinitesimal.

Si en estas circunstancias la variable aleatoria X = nº de hechos que se producen en un intervalo unitario sigue una distribución de Poisson, que cómo veremos tendrá por parámetro l el número medio de hechos que pueden producirse en el intervalo unitario.